
Родился 13 июля 1934 года в городе Жиздра Калужской области. В 1957 году окончил Московское высшее техническое училище имени Н.Э.Баумана, работал в конструкторском бюро. С 1966 года — в Центре подготовки космонавтов.
За успешное выполнение космического полета и осуществление первого в мире перехода из одного космического корабля в другой, совершенного во время орбитального полета кораблей «Союз-4», «Со-юз-5», проявленные при этом мужество и героизм присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Второй полет в космос А.С. Елисеев совершил 13-18 октября 1969 года. В качестве бортинженера космического корабля «Союз-8». 23-25 апреля 1971 года состоялся третий космический полет бортинженером корабля «Союз-10». Он летел вместе с В.А. Шаталовым и Н.Н. Рукавишниковым. 24 апреля 1971 года «Союз-10» был состыкован с научной станцией «Салют», ранее выведенной на орбиту.
Награжден советскими и иностранными орденами, медалями, золотой медалью имени К.Э. Циолковского, почетным дипломом имени В.М. Комарова и медалью де Лаво. Ему присвоено звание Героя Социалистического Труда НРБ.
Звание «Почетный гражданин города Караганды» присвоено 23 октября 1969 года за особые заслуги в развитии советской космонавтики, переход через открытый космос из космического корабля «Союз-5» в «Союз-4», отличное осуществление полета космического корабля «Союз-8», успешную посадку его близ шахтерского города.
Дата присвоения звания: 23 октября 1969 года